Marlon Martínez Salazar
Calle San Pablo No.9 Fracc. Rosete Aranda, Barrio de San Sebastián. Huamantla, Tlaxcala.
Eder Adolfo Pérez Pérez.
Calle Álamos Núm. 10, Panzacola, Tlaxcala.
Roman Bautista Espinosa
Alhondiga de Granaditas, Los Angeles Mayorazgo, Puebla
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MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Posted: January 23, 2014 in Modelo Matemático de Programación LinealSin duda alguna uno de los métodos analíticos más viables económicamente para la solución de problemas de administración es el de la Programación Lineal, el cual tiene diversas aplicaciones y ha sido aplicado exitosamente en las industrias.
Los pasos a seguir en la aplicación de un método científico son, en su expresión más simple:
1.- Planteo y Análisis del problema
2.- Construcción de un modelo
3.- Deducción de la(s) solución(es)
4.- Prueba del modelo y evaluación de la(s) solución(es)
5.- Ejecución y Control de la(s) solución(es)
Para comprender lo que es la Programación Lineal es importante entender los siguientes conceptos básicos:
- Variables de Decisión
- Restricciones
- Función Objetivo
- Linealidad
- Desigualdades
- Condición de no – negatividad
Estos conceptos se definen posteriormente en el Glosario.
*La estructura matemática general de la programación lineal*
Como podemos ver en el modelo la función que se va maximizar o minimizar es la función objetivo que se denota como z, sujeta a (s.a.) las restricciones. Xj >= 0, es la condición de no – negatividad ya que las variables de decisión solo pueden tomar valores mayores o iguales a 0.
Administración Industrial.- Se refiere a la administración de los recursos de una Industria como: Recursos Humanos, Materia Prima, Productos terminados, etc., en sí todos los recursos necesarios para que una industria se mantenga en funcionamiento. Esta tarea tiene un único fin: Incrementar La Productividad, es decir, producir más con menos sin afectar la calidad de los productos, para que la empresa aumente sus utilidades y finalmente contribuyan con el desarrollo del país.
Análisis cuantitativo.- Técnica que aplica las matemáticas, especialmente el cálculo estocástico, al ámbito de la economía y la Bolsa.
Automatización.- Se refiere al uso de sistemas o elementos computarizados y electromecánicos para controlar maquinarias o procesos industriales.
Base cuantitativa.- Esta es la habilidad de emplear técnicas presentadas como métodos cuantitativos o investigación de operaciones, como pueden ser la programación lineal, teoría de líneas de espera y modelos de inventarios. Esta herramienta ayuda a los mandos a tomar decisiones efectivas.
Condición de no- negatividad.- En la programación lineal las variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos. No se permiten valores negativos.
Desigualdades.- Las desigualdades utilizadas para representar las restricciones deben ser cerradas o flexibles, es decir, menor – igual (<=) o mayor – igual (>=). No se permiten desigualdades de los tipos menor- estrictamente o mayor – estrictamente, o abiertas.
Función objetivo.- Es la función matemática que relaciona las variables de decisión.
Gestión.- Conjunto de operaciones que se realizan para dirigir y administrar un negocio o una empresa.
Información.- Conjunto de datos susceptibles de ser utilizados en la toma de decisiones o para obtener el conocimiento de un asunto./ Datos que han sido organizados de alguna manera significativa. / Conjunto de noticias o informes, es decir son datos, de gran importancia para una actividad.
Investigación de operaciones.- Es la aplicación del método científico por equipos interdisciplinarios a problemas que comprenden el control y gestión de sistemas organizados (hombre- máquina); con el objetivo de encontrar soluciones que sirvan mejor a los propósitos del sistema (u organización) como un todo, enmarcados en procesos de toma de decisiones.
Métodos.– La investigación operacional consiste en la aplicación del método científico, por parte de grupos interdisciplinarios, a problemas de control de sistemas organizativos con la finalidad de encontrar soluciones que atiendan de la mejor manera posible a los objetivos de la organización en su conjunto.
Objetivos y métodos.- El objetivo y finalidad de la investigación operacional (conocida también como teoría de la toma de decisiones o programación matemática) es encontrar la solución óptima para un determinado problema (militar, económico, de infraestructura, logístico, etc.)
Optimización.- La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos.
Organizaciones.- Entidades sociales que están dirigidas a metas, que tienen sistemas de actividades estructuradas deliberadamente y vinculadas con el ambiente externo./ Instituciones mediante las cuales la sociedad puede conseguir objetivos que los individuos, actuando por separado, no podrían lograr.
Programación lineal.- Procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función, también lineal.
Restricciones.- Representan los límites del problema a resolver. Se muestran por medio de desigualdades de tipo lineal. El sistema completo muestra una región del plano.
Región de factibilidad.- Es precisamente la región determinada por el sistema de restricciones de tipo lineal. Es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen las restricciones del problema. La región está determinada por los ejes cartesianos y las rectas.
Variables de decisión.- Es lo que se trata de determinar, y para lo cual se requiere una decisión. Generalmente se designan letras con subíndices. Cada variable debe representar una cantidad que corresponda con una misma unidad de medida.
Newman, James R
El Mundo de las matemáticas. Grijalbo. 1956
Gass Saul I
Linear Programming. Methods and Applications. McGraw Hill, New York.1974
Hillier-Lieberman
Introducción a la Investigación de Operaciones.-McGraw-Hill.- 6a.edición.- 1995.
Shamblin – Stevens
Investigación de Operaciones. Un enfoque Fundamental.- Mc Graw Hill. Primera edición. 1978.
Wayne L. Winston
Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos; revisión técnica Adolfo Andrés Velasco Reyes.
*Personal
La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción.
*Mercado y distribución
El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores.
*Compras y materiales
Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.
*Manufactura
La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad.
*Finanzas y contabilidad
Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones.
Problemas reales en la aplicación de la Investigación de Operaciones
- Programación del horario de las rondas de policías de San Francisco.-En 1989 Taylor y Huxley diseñaron un método para programar el horario de las rondas de oficiales de la Policía de San Francisco, usando un modelo de programación lineal, la programación de metas y la programación entera. El ahorro sumó 11 millones de dólares anuales.
- Reducción de gastos de combustible en la industria de la energía eléctrica.- En 1989 Chao y Cols ahorraron a 79 empresas de servicio de energía eléctrica más de 125 millones de dólares en costos de compras y de déficit, usando programación dinámica y simulación.
- Diseño de una instalación para desmontar lingoteras en Bethlehem Steel.- En 1989 Vasko y Cols ayudaron a esta empresa siderúrgica con el diseño del sistema de quitar lingoteras a los lingotes de acero con un modelo de programación entera ahorrando 8 millones de dólares anuales.
- Mezcla de gasolinas en Texaco.- Con programación lineal y no lineal Dewit y Cols diseñaron un modelo de mezcla para cuatro tipos de gasolina ahorrando 30 millones de dólares al año; aplicando análisis de sensibilidad calcularon el efecto de cambios al modelo.
- Programación del horario de los camiones para North America Van Lines.-En 1989 Powell y Cols, con modelos de redes y programación dinámica, formularon la asignación de carga a chóferes, reduciendo costos en 2.5 millones de dólares, con mejor servicio.
- Administración del inventario a Blue Bell.-En 1985 Edwars, Wagner y Wood con programación lineal y modelos probabilísticos de inventario redujeron el nivel medio de inventario de ropa deportiva y de oficina en un 31%.
- Determinación de carteras de bonos.- Varias personas (Chandy y Kharabe, 1986) utilizaron la programación lineal para máxima ganancia con restricciones de riesgo y de la diversificación de la cartera.
- Planeación de producción en lechería.-En 1985 Sullivan y Secrest, usaron programación lineal con utilidad de 48000 dólares, al determinar el proceso: del suero, la leche cruda, el suero dulce y la crema, para obtener: queso crema, requesón, crema agria y crema de suero.
- Reemplazo de equipo en Phillips Petroleum.- Para el reemplazo de equipo usaron modelos (Waddell, 1983), que se estima ahorraron 90000 dólares por año.
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Facultad de Ciencias de la Computación
Ingeniería en Tecnologías de la Información
-Investigación de Operaciones-
Integrantes del Equipo:
Román Bautista Espinosa – 201223119
Eder Adolfo Pérez Pérez – 201219888
Marlon Martínez Salazar – 201218053
Es difícil precisar el inicio de la investigación de operaciones; Investigación de Operaciones se remonta a los años 1759 cuando el economista Quesnay empieza a utilizar modelos primitivos de programación matemática. Más tarde, otro economista de nombre Walras, hace uso de técnicas similares. Los modelos lineales de la Investigación de Operaciones tienen como precursores a Jordan en 1873, Minkowsky en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos probabilísticos tienen su origen con Markoiv a fines del siglo pasado.
Aunque se tiene información que desde la década de 1910 durante la Primera Guerra Mundial se le confió a Thomas A. Edison el averiguar las maniobras más eficaces de los barcos mercantes para disminuir los embarques perdidos por ataques de los submarinos enemigos. Edison empleó un “tablero táctico” como modelo para simular las operaciones reales.
Pero fue hasta la Segunda Guerra Mundial donde la Investigación de Operaciones verdaderamente nació, específicamente cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas y estratégicas de la fuerza aérea ante la incorporación de un nuevo radar, el avance acelerado de la tecnología militar hace que ejecutivos y administradores militares británicos tengan que recurrir a científicos en pos de apoyo y orientación en la planificación de su defensa.
Sin embargo el origen de la IO puede considerarse como anterior a la revolución industrial, tarda en desarrollarse en el campo de la administración industrial, el uso de la metodología científica en la industria se incorpora al principio de los años 50, a partir de la segunda guerra industrial, propiciada por los avances de la computación y comunicaciones.
Los primeros desarrollos de esta disciplina (IO) se refirieron a problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación y asignación de recursos en el ámbito militar en sus inicios, diversificándose luego, y extendiéndose finalmente a organizaciones industriales, académicas y gubernamentales.
Actualmente IO se aplica al sector privado y público, a la industria, los sistemas de comercialización, financieros, de transportes, de salud etc., en los países desarrollados, “en vías de” y en los del tercer mundo.
A continuación algunas definiciones de IO.
- La Investigación de Operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización. (Churchman, Ackoff y Arnoff,).
- La investigación de Operaciones utiliza el enfoque planeado y un grupo interdisciplinario, a fin de representar las complicadas relaciones funcionales en modelos matemáticos para suministrar una base cuantitativa para la toma de decisiones, y descubrir nuevos problemas para su análisis cuantitativo. (Thierauf y Grosse)
- Planteamiento científico a la toma de decisiones, que busca determinar cómo diseñar y operar mejor un sistema, normalmente bajo condiciones que requieren la asignación de recursos escasos. (Winston).
- La Investigación Operativa es la aplicación del método científico a un mismo problema por diversas ciencias y técnicas, en apoyo a la selección de soluciones, en lo posible óptimas.
- En esta disciplina (IO) se destacan las siguientes características esenciales:
- una fuerte orientación a Teoría de Sistemas,
- la participación de equipos interdisciplinarios,
- la aplicación del método científico en apoyo a la toma de decisiones.
En base a estas propiedades, una posible definición es: la Investigación de Operaciones es la aplicación del método científico por equipos interdisciplinarios a problemas que comprenden el control y gestión de sistemas organizados (hombre- máquina); con el objetivo de encontrar soluciones que sirvan mejor a los propósitos del sistema (u organización) como un todo, enmarcados en procesos de toma de decisiones.
Investigación de Operaciones 